Salut
1. est-ce que tu es sûr que ce qui est marqué n'est pas plutôt : "équation différentielle du premier
ordre à coefficients constants ?
Premier ordre car il n'y a que la dérivée première de Uc qui intervient.
Coefficients constants car (R.C) ne dépend pas de la variable t.
2. Tu rigoles ou quoi ? La solution t'as déjà été donnée par Coltrane !
Allez, bis repetita placent :
Tu as une équa diff avec second membre. L'idée de base est que : "Solution Générale Equation Avec Second Membre" = "Solution Générale Equation Sans Second Membre" + "Solution Particulière Equation Avec Second Membre", ce que l'on peut écrire : SGEASM = SGESSM + SPEASM
SGESSM : là c'est simple, car pas de second membre : l'équation devient :
Uc + R.C(dUc/dt) = 0, soit : (dUc/dt) = -Uc/(R.C)
Quelle fonction est égale à sa dérivée, si ce n'est exp(x). Si tu en trouves une autre, je mange mon chapeau (P.S.: la fonction y=0 ne comptes pas !
). Comme tu n'as pas (dUC/dt) = Uc, mais qu'il y a le coefficient (-1/(R.C.)) devant, tu dois te rappeller que (d(exp(at)/dt) = a.exp(at).
D'où la SGESSM : Uc(t) = B.exp(at) = B.exp(-t/(R.C)), B étant une constante. (Il s'agit de ton "k", qui est en fait la constante de temps du dipôle RC).
Dérives ce truc et tu verras que ça marche.
Mais l'équation à un second membre : il nous faut donc une SPEASM de :
Uc + R.C(dUc/dt) = E, soit : (dUc/dt) = E/(R.C) - Uc /(R.C)
Dans ce cas là, E semble constant (réponse à un échelon de tension, je présume ?) donc il faudrait se débarrasser de (dUc/dt). Quelle fonction a comme dérivée la fonction nulle, si ce n'est une constante ?
Si Uc est constante, alors l'équation à résoudre donne : Uc = E : il s'agit de notre SPEASM.
Maintenant la SGEASM : Uc(t) = B.exp(-t/(R.C)) + E
On retrouve bien la forme donnée.
Comment déterminer la valeur de B ? Grâce aux conditions initiales. Il faut connaitre la valeur de Uc à t=0.
On a alors : Uc(0) = B.exp(0) + E, soit B = Uc(0) - E
Exemple : le condo est initialement déchargé, et on applique un échelon de tension E au dipôle RC. A l'instant initiale la charge du condo vaut 0, et donc Uc(0) = 0 (il ne peut pas y avoir discontinuité de la tension aux bornes d'un condo, de même qu'il ne peut pas y avoir discontinuité de l'intensité qui parcourt une bobine, pour la même raison : il ne peut pas y avoir discontinuité de l'énergie stockée par un dipôle).
Alors B = 0 - E = -E
Et : Uc(t) = -E.exp(-t/(R.C)) + E = E (1 - exp(-t/(R.C))
Et là, ô miracle, on retrouve bien la courbe attendue.
@+
18 ans.
